大一高数考试题(大一高数题。)

您好，先说一下做题的思路。这道题目求的是f'的一个值，就是说两个变量之间的函数关系是f，求其中一个变量对另一个变量的导数。已知条件给了我们f(1/x^2)对x的导数，这两个变量间的关系不是f。我们可以试着由这个已知条件，得到两个关系为f的变量的导数。要做到这一点，最简单的办法，也是适合我们首先考虑的办法，就是把已知条件变形。容易发现，我们可以把dx 转化为d(1/x^2). 这样，我们就可以得出f(1/x^2)对1/x^2的导数，这两个变量之间的函数关系是f。

具体过程如下：

df(1/x^2)/dx = df(1/x^2)/d(1/x^2)*d(1/x^2)/dx = df(1/x^2)/d(1/x^2) * (-2*x^-3) = 1/x

所以df(1/x^2)/d(1/x^2) = -x^2/2 =-1/2 * (1/x^2)^-1

1/x^2的值域是(0,+∞)，对于值域里的每一个a，有

f'(a)=df(a)/da = df( 1/(a^-0.5)^2 )/d( 1/(a^-0.5)^2 ) = -1/2 * (1/(a^-0.5)^2)^-1 = -1 / 2a

所以f'(1/2)= -1/(2*1/2) = -1.

希望能帮到您。

解：设y为远离平衡位置的位移

受力分析

由胡克定律知

回复力f=-ky=ma=m[d^2y/dt^2]

即my"+ky=0，y“+(k/m)y=0

该齐次微分方程对应特征方程为

r^2+k/m=0

特征根为r1,2=±√(k/m)i,

通解y=C1cos[√(k/m)]t+C2sin[√(k/m)]t

初始条件：t=0时,位移y(0)=a,速度y'(0)=0带入

可解得常数C1=a，C2=0

那么可得到该物体运动规律方程y=acos[√(k/m)]t

做简谐运动