考研极限习题(考研极限习题)

先做等价无穷小代换，当x→0时，ln（1+x）～x，所以原极限=lim（x→0）（3sinx+x?cos（1/x））/（（1+cosx）x）=lim（x→0）（3sinx/（（1+cosx）x）+xcos（1/x）/（cosx+1））=

lim（x→0）3sinx/（（1+cosx）x）+lim（x→0）xcos（1/x）/（cosx+1）=3/2

故得驻点x=-1；当x在-1的左侧时，比如x=-1.1，则f'(-1.1)=2-2/(1.1)^(1/3)>0；

当x在-1的右侧，比如x=-0.9，则f'(-0.9)=2-2/(0.9)^(1/3)<0.

即x从左到右经过驻点x=-1时f'(x)的符号由正变负，因此x=-1是极大点。

f(x)的极大值=f(-1)=-2+3=1.

另外，x=0时f '(0)不存在，因此x=0也可能是极值点。当x在0的左侧，比如x=-0.9,

此时f'(-0.9)=2-2/(0.9)^(1/3)<0；当x在0的右侧，比如x=0.1，此时f'(0.1)=2+2/(0.1)^(1/3)>0；即f'(x)在x从左到右经过f'(x)的间断点x=0时，f'(x)的符号由负变正，故x=0是极小点，极小值=f(0)=0.

故应选C。